\(A\left(1;3\right)\) thuộc đths \(\Rightarrow a+b+c+1=3\Rightarrow a+b+c=2\)  (1)

\(B\left(-1;4\right)\) thuộc đths \(\Rightarrow-a+b-c+1=4\Rightarrow-a+b-c=3\)  (2) 

Ta có \(y'\left(x\right)=3ax^2+2bx+c\)

\(y'\left(2\right)=0\Rightarrow12a+4b+c=0\)  (3)

Từ (1), (2) và (3) ta được \(a=-\dfrac{19}{22};b=\dfrac{5}{2};c=\dfrac{4}{11}\)

Vậy hàm số đã cho là \(y=-\dfrac{19}{22}x^3+\dfrac{5}{2}x^2+\dfrac{4}{11}x+1\)

Từ điều kiện đề bài: (hiển nhiên a khác 0):

\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{4ac-b^2}{4a}=-1\\a-b+c=7\\c=1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}4a-b^2=-4a\\a-b=6\\c=1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(a-6\right)^2-8a=0\\b=a-6\\c=1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\left\{2;18\right\}\\b=a-6\\c=1\end{matrix}\right.\)

Có 2 parabol thỏa mãn: \(\left[{}\begin{matrix}y=2x^2-4x+1\\y=18x^2+12x+1\end{matrix}\right.\)

Với \(a\ne0\) từ đề bài ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}-\dfrac{b}{2a}=2\\4a+2b+c=1\\16a+4b+c=-3\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}4a+b=0\\4a+2b+c=1\\16a+4b+c=-3\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow a=-1;b=4;c=-3\)

Vậy (P): \(y=-x^2+4x-3\)

\(b,\Leftrightarrow x=-3;y=1\Leftrightarrow-3a+3=1\Leftrightarrow a=\dfrac{2}{3}\)

Theo đề, ta có hệ:

\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{-b}{2a}=\dfrac{1}{2}\\-\dfrac{b^2-4ac}{4a}=\dfrac{3}{4}\\a+b+c=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}b=-a\\b^2-4ac=-\dfrac{3}{4}\cdot4a=-3a\\a+b+c=1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}b=-a\\\left(-a\right)^2-4ac+3a=0\\a+b+c=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}c=1-a-b=1-a+a=1\\a^2+3a-4a=0\\b=-a\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}c=1\\a=1\\b=-1\end{matrix}\right.\)

Đáp án D